Sind die 1000 Euro pro Woche auch pro Person gedacht - sprich gesamt 2000 Euro für eine Ferienwohnung/Bungi? Der Gardasee wär schonmal eine Erfüllung deiner Bedingungen nach "See" und alternativ "Berge" ....hier schon geschaut?
Aber bei sowas wie einer eigenen Villa mit Pool bist pro Woche - z.B. im September - mit ca. 2000 Euro schon dabei....wenn das Budget passen würde, dann kannst mal sowas wie das La Golfette in Manerba oder Villa Isabella in Moniga anschauen , ob du sowas gemeint hast mit deiner Suche?
Ein User hatte auch mal das hier empfohlen hier klicken - auch am Gardasee in Bardolino
Ansonsten - vielleicht findet die Reiseberatung hier im Forum ein Hotel in Italien mit eigenen Poolvillen - kannst ja mal anfragen: hier klicken
OT: Die automatische Verlinkung auf die Villa ist falsch!